PROPIEDADES DE LA ESPERANZA MATEMÁTICA, VARIANZA MATEMÁTICA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR

ESPERANZA MATEMÁTICA O VALOR ESPERADO DE UNA VARIABLE ALEATORIA:

El valor esperado de una variable aleatoria E(x) es un parámetro de centralización y su significado es similar al de la media aritmética de un conjunto de datos. En realidad, puede considerarse que es una generalización del concepto de media aritmética, esto se refiere a un conjunto de datos que en la mayoría de los casos constituyen una muestra de una población mucho mayor, E(x) coincidiría con la media aritmética poblacional en el caso de que pudiera estudiarse toda la población, en este caso E(x)= Ω pero este calculo seria posible en algunas poblaciones finitas.

En el caso de una variable aleatoria discreta, el cálculo del valor esperado se realiza según, la siguiente expresión:                                                        
                                                                      ∞

E(x) = Σ Xi f(Xi)

                                                                     i=1

Propiedades de la Esperanza Matemática:

·                     El valor esperado de una constante es igual a ella misma E(C) = C, siendo C una constante.

         Ejemplos: Si la constante es el número 2, entonces se tiene que: E(2) = 2

                         Si la constante es el número 8, entonces se tiene que: E(8) = 8

·                     Si X y Y son variables aleatorias se cumple que: E(X+Y) = E(X) + E(Y) ; esto indica que el valor esperado de la suma de dos variables aleatorias es igual a la suma de dos valores esperados.

        Ejemplos: E(2+8) = E(2) + E(8)

                        E(4+3) = E(4) + E(3)

·                     El valor esperado del producto de una constante por una variable aleatoria, es igual al producto de la constante por el valor esperado de la variable: E(C . X) = C . E(X)

        Ejemplos: E(4 . X) = 4 . E(X)

                        E(3 . X) = 3 . E(X)

·                     Si X es una variable aleatoria e Y es otra variable aleatoria, el valor esperado del producto de las variables es igual al producto de los valores esperados, solamente en el caso de que las variables X e Y sean independientes, entonces se tiene que:  

E(X .Y) = E(X) . E(Y) únicamente en el caso de que X e Y sean variables aleatorias independientes

        Ejemplos: E(3 . 4) = E(3) . E(4) Solo si 3 y 4 son variables aleatorias independientes

                        E(5 . 2) = E(5) . E(2) Solo si 5 y 2 son variables aleatorias independientes

EJEMPLO: Sean X e Y dos variables aleatorias cuyos valores esperados son:

 E(X) = 6 y E(Y) = 5. Calcular E(2X + 4Y + 3). Aplicando las propiedades del valor esperado se tiene:

E(2X + 4Y + 3) = E(2X) + E(4Y) + E(3)

Se ha aplicado la segunda propiedad donde: el valor esperado de la suma de dos variables aleatorias es igual a la suma de dos valores esperados.

E(2 . X) = 2 . E(X) Tercera propiedad

E(4 . Y) = 4 . E(Y) Tercera propiedad

E(3) = 3 Primera propiedad

E(2X + 4Y + 3) = E(2X) + E(4Y) + E(3) = 2.6 + 4.5 + 3 = 12 + 20 + 3 = 35

Propiedades de la varianza:

La Varianza tiene las siguientes propiedades:

1)      Var (C) = 0.    Lo que indica la propiedad es que: La varianza de una constante es CERO.  La varianza mide la dispersión, claro está que una constante no puede tener dispersión,  por lo tanto la varianza es cero.

Ejemplo:

C=  5                   

 Siendo C una constante, entonces tenemos que:

                           Var (C) = 0

2)      Var (C.X) = C² . Var(X)

Lo que indica la propiedad es que: La varianza del producto de una constante multiplicada por una variable, será igual a la constante elevada al cuadrado multiplicada por la varianza de la variable.

Ejemplo:

C= 8  ,  X= 5              

   Siendo C una constante y X una variable aleatoria, entonces tenemos que:

Var(C.X) = C² . Var(X)

Var(8 . 5) = 8² . Var(5)

Var(40) = 64 . 5

320  =  320

3)      Sí  X y Z son variables aleatorias cualquiera:

      Var  ( X + Z ) = Var (X) + Var (Z) + 2 Cov ( X, Y )

Teniendo en cuenta que la covarianza (Cov) de dos variables independientes es igual a CERO. Sí  X y Z son dos variables independientes Cov ( X, Y ) = 0 por lo tanto:

Var  ( X + Z ) = Var (X) + Var (Z)

La varianza de la suma de dos variables independientes es igual a la suma de varianzas.

Ejemplo:

Var(X)= 8

Var(Z)= 12

Var ( X + Z ) = Var (X) + Var (Z)

Var ( X + Z ) = 8 + 12

Var ( X + Z ) = 20

Propiedades de la desviación estándar:

1) La desviación típica será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales.

Ejemplo:

X=	9 + 9 + 9 + 9		= 9
	4
Ơ2=	(9-9)2 + (9-9)2 + (9-9)2 + (9-9)2				= 0
	4
Ơ=	√0
Ơ=	0

2) Si a todos los valores de la variable se les suma un número la desviación típica no varía.

 

Ejemplo: 

X=	(8+4)	= 6
	2
Ơ2=	(8-6)2 + (4-6)2		= 4
	2
Ơ=	√4
Ơ=	2

Le sumamos +2 a todas las variables

X=	(10+6)	= 8
	2
Ơ2=	(10-8)2 + (6-8)2		= 4
	2
Ơ=	√4
Ơ=	2

3) Si todos los valores de la variable se multiplican por un número ladesviación típica queda multiplicada por dicho número.

Ejemplo: 

X=	(4+8)	= 6
	2
Ơ2=	(4-6)2 + (8-6)2		= 4
	2
Ơ=	√4
Ơ=	2

Le multiplicamos x2 a todas las variables

X=	4(2)+8(2)	= 6(2)
	2
Ơ2=	[4-(6.2)2] + [8-(6.2)2]			= 40
	2
Ơ=	√40
Ơ=	6 = 3.2

4) Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivas desviaciones típicas se puede calcular la desviación típica total.

Si todas las muestras tienen el mismo tamaño:

Ejemplo:

X1=	(7+9)	= 8
	2

Ơ21=	(7-8)2 + (9-8)2	= 1
	2
Ơ=	√1
Ơ=	1

X2=	(5+3)	= 4
	2
Ơ22=	(5-4)2 + (3-4)2			= 1
	2
Ơ=	√1
Ơ=	1

Desviación estándar total

Ơ2=	(4 +1) / 2  =  2.5

               Ơ = √2.5

                    Ơ = 1.581